oesterreich.gv.at has the current information (in German).
Current requirement for travellers from the UK is either
Einreise nach Österreich – Gesundheitsmaßnahmen
Personen, die
nicht in eine der oben genannten Personengruppen fallen und aus dem
Schengenraum oder aus [...] dem Vereinigten Königreich [...] einreisen wollen,
- müssen einen negativen Coronavirus-Test (nicht älter als vier Tage ist) vorweisen
- oder eine 14-tägige Heimquarantäne oder eine Quarantäne in einer geeigneten Unterkunft (mit Bestätigung der Verfügbarkeit) antreten
meaning either a negative corona test (no older than 4 days) or 14 days of quarantine.
There is nor requirement on who performs the test - quite a few private practices in the UK offer that service.