You could use SL, which would cost you about 25 kronor one-way:

"Tag buss 152 från Bromma flygplats mot Älvsjö station.

Den går från Bromma flygplats 8:23
och kommer till Sundbybergs torg cirka 8:31.

Vid Sundbybergs torg byter du till pendeltåg mot Älvsjö.
Det går från Sundbyberg 8:37
och kommer till Karlberg 8:41.

Vid Karlberg byter du till pendeltåg mot Märsta.
Det går från Karlberg 8:54
och kommer till Märsta 9:26.

Vid Märsta byter du till buss 583 mot Arlanda.
Den går från Märsta station 9:33.

Du är framme vid Arlanda terminal 5 9:47."